A3－019 某州頒發由6個數字組成的車牌證號（由0―9的數字組成），且規定任何兩個牌號至少有兩個數字不同（因此，證號“027592”與“020592”不能同時使用），試確定車牌證號最多有多少個？

【題說】 第十九屆（1990年）美國數學奧林匹克題1．

【解】 至多可造出不同的五位證號a₁a₂a₃a₄a₅10⁵個．令a₆是a₁＋a₁＋a₃＋a₄＋a₅的個位數字，所成的六位數便滿足要求．因為如果兩個數的前五位中只有一個數字不同，那么第6位數字必然不同．

另一方面，任何10⁵＋1個6位數中，總有兩個前五位數字完全相同．

因此，符合題目要求的車牌證號最多有10⁵個．

A3－020 設 A＝99…99（81位全為9），求A²的各位數字之和．

【題說】 1991年日本數學奧林匹克預選賽題1．

【解】 由A＝10⁸¹－1知

A²＝10¹⁶²－2?10⁸¹＋1

＝99…980…01

↑       ↑

162位     82位

故A²各位數字之和＝9×（162－82）＋8＋1＝729．

A3－021 如果一個正整數的十進制表示中至少有兩個數字，并且每個數字都比它右邊的數字小，那么稱它為“上升”的．這種“上升”的正整數共有多少個？

【題說】 第十屆（1992年）美國數學邀請賽題2．

【解】 符合條件的正整數中的數字，都是不同的非零數碼，即集合S＝{1，2，3，…，9}的二元或二元以上的子集．反過來，S的每個二元或二元以上的子集，將它的數碼從小到大排列，也得到一個符合條件的正整數．S的子集共有2⁹

=512個，其中只含一個元素的子集有9個，一個空集．故符合條件的正整數共有512－10=502個．

A3－022  試用一個n的函數，表示乘積

在十進制下各位數字的和．

【題說】第二十一屆（1992年）美國數學奧林匹克題1．

【解】先給出引理：設自然數m的位數不多于d，M=（10^k－1）m（k≥d）．則

S（M）=9k

這里S（M）表示M中各位數字的和．

事實上，令M=（10^k－1）m=p+q+r，這里p=10^k（m－1），q=10^d－m，r=10^k－10^d．若m－1的十進制的表示是

a_i+b_i=9（i=1，2，…，d）

r=（10^k－1）－（10^d－1）

=99…9（k個9）－99…9（d個9）

=99…900…0（k－d個9，d個0）

個9，d個0）

從而，S（M）=9k

記題給乘積為M＇，且令

A3－023  求方程

的各個正根的乘積的最后三位數字．

【題說】第十三屆（1995年）美國數學邀請賽題2．

【解】令y=1og₁₉₉₅x．由原方程取對數得

其最后三位數字為025．

A3－024  一個六位數的首位數字是5，是否總能夠在它的后面再添加6個數字，使得所得的十二位數恰是一個完全平方數？

【題說】1995年城市數學聯賽高年級普通水平題3．

【解】不．若不然，10⁵個以5為首位數字的六位數可以衍生出105個十二位的完全平方數．即有10⁵個自然數n滿足．

5×10¹¹≤n²＜6×10¹¹

亦即

7×10⁵＜n＜8×10⁵

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