一、如圖，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，線段ＡＢ上有一點Ｄ，線段ＡＣ的延長線上有一點Ｅ，使得ＤＥ＝ＡＣ；線段ＤＥ與?ＡＢＣ的外接圓交于Ｔ點，Ｐ是線段ＡＴ的延長線上的一點．證明：點Ｐ滿足ＰＤ＋ＰＥ＝ＡＴ的充分必要條件是點Ｐ在△ＡＤＥ的外接圓上．

（裘宗滬 供題）

二、給定正整數ｋ、ｍ、ｎ，滿足１≤ｋ≤ｍ≤ｎ，試求  _{<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />}的值，并寫出推算過程．

（許以超 供題）

三、對正整數ａ≥２，記Ｎａ為具有以下性質的正整數ｋ的個數：ｋ的ａ進制表示的各位數字的平方和等于ｋ．證明：

（１）Ｎa為奇數；

（２）對任意給定的正整數Ｍ，存在正整數ａ≥２，使得Ｎa≥Ｍ．

（陳永高 供題）_{<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />}

(２０００-０４-０１ ８：００～１２：３０)

四、設ｆ（ｘ）是整系數多項式，并且ｆ（ｘ）＝１有整數根．約定將所有滿足上述條件的ｆ組成的集合記為Ｆ．對于任意給定的整數ｋ＞１，求最小的整數ｍ（ｋ）＞１，要求能保證存在ｆ∈Ｆ，使得ｆ（ｘ）＝ｍ（ｋ）恰有ｋ個互不相同的整數根．

（張筑生 供題）

五、（１）設ａ、ｂ是正實數，數列｛ｘ_ｋ｝和｛ｙ_ｋ｝滿足

ｘ_０＝１，ｙ_０＝０，且

ｋ＝０，１，２，…．

求證：

ｘ_k＝ ，

其中λ_ｋ，1＝ ．

（２）記ｕ_ｋ＝ ，對任意給定的正整數ｍ，將ｕ_ｋ除以２^ｍ所得的余數記為ｚ_ｍ，ｋ．求證：｛ｚ_ｍ，ｋ?｝，ｋ＝０，１，２，…，為純周期數列，并求出最小正周期．

（黃玉民 供題）

六、設ｎ為正整數，記集合Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ，ｙ是整數，１≤ｘ，ｙ≤ｎ｝．定義在Ｍ上的函數ｆ具有性質：

（ａ）ｆ（ｘ，ｙ）取值于非負整數；

（ｂ）當１≤ｘ≤ｎ時，有 =n-1；

（ｃ）若ｆ（ｘ_１，ｙ_１）ｆ（ｘ_２，ｙ_２）＞０，則（ｘ_１－ｘ_２）（ｙ_１－ｙ_２）≥０.

試計算這樣的函數ｆ的個數Ｎ（ｎ），并求出Ｎ（４）的具體數值．