小學(xué)六年級奧數(shù)題——同余問題

　　1.若a為自然數(shù)，證明10│（a2005－a1949）．

　　2.給出12個彼此不同的兩位數(shù)，證明：由它們中一定可以選出兩個數(shù)，它們的差是兩個相同數(shù)字組成的兩位數(shù)．

　　3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位數(shù)．

　　4.設(shè)2n＋1是質(zhì)數(shù)，證明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余數(shù)各不相同．

　　5.試證不小于5的質(zhì)數(shù)的平方與1的差必能被24整除．

　　參考答案：

　　1.提示：對于任何自然數(shù)a，a5與a的個位數(shù)字相同．

　　2.提示：有兩個數(shù)的差能被11整除

　　3.173

　　4.分析這道題肯定不可能通過各數(shù)被2n＋1除去求余數(shù)．那么我們可以考慮從反面入手，假設(shè)存在兩個相同的余數(shù)的話，就會發(fā)生矛盾．而中間的推導(dǎo)是步步有根據(jù)的，所以發(fā)生矛盾的原因是假設(shè)不合理．從而說明假設(shè)不成立，因此原來的結(jié)論是正確的．

　　證明：假設(shè)有兩個數(shù)a、b，（a≠b，設(shè)b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它們的平方a2，b2被2n＋1除余數(shù)相同．

　　那么，由同余定義得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．

　　即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是質(zhì)數(shù)．

　　∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．

　　由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b與2n＋1互質(zhì)，a－b也與2n＋1互質(zhì)．即a＋b與a－b都不能被2n＋1整除．產(chǎn)生矛盾，∴原題得證．

　　說明：這里用到一個重要的事實：如果A·B≡0（modp），p是質(zhì)數(shù)，那么A或B中至少有一個模p為零．p是質(zhì)數(shù)這一條件不能少，否則不能成立。例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余數(shù)不為0。

　　5.證明：∵質(zhì)數(shù)中僅有一個偶數(shù)2，∴不小于5的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．又不小于5的自然數(shù)按除以6所得的余數(shù)可分為6類：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然數(shù)），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶數(shù)，又3│6n＋3．

　　∴不小于5的質(zhì)數(shù)只可能是6n＋1，6n＋5．

　　又自然數(shù)除以6余數(shù)是5的這類數(shù)換一記法是：6n－1，

　　∴（不小于5的質(zhì)數(shù)）2－1＝（6n±1）2－1

　　＝36n2±12n＝12n（3n±1），

　　這里n與（3n±1）奇偶性不同，其中定有一個偶數(shù)，

　　∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴結(jié)論成立．

　　說明：按同余類造抽屜是解競賽題的常用方法．