六年級奧數專題訓練——同余問題

　　1.若a為自然數，證明10│（a2005－a1949）．

　　2.給出12個彼此不同的兩位數，證明：由它們中一定可以選出兩個數，它們的差是兩個相同數字組成的兩位數．

　　3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位數．

　　4.設2n＋1是質數，證明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余數各不相同．

　　5.試證不小于5的質數的平方與1的差必能被24整除．

　　參考答案：

　　1.提示：對于任何自然數a，a5與a的個位數字相同．

　　2.提示：有兩個數的差能被11整除

　　3.173

　　4.分析這道題肯定不可能通過各數被2n＋1除去求余數．那么我們可以考慮從反面入手，假設存在兩個相同的余數的話，就會發生矛盾．而中間的推導是步步有根據的，所以發生矛盾的原因是假設不合理．從而說明假設不成立，因此原來的結論是正確的．

　　證明：假設有兩個數a、b，（a≠b，設b<a，且1≤a≤n，1≤b≤n），它們的平方a2，b2被2n＋1除余數相同．

　　那么，由同余定義得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．

　　即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是質數．

　　∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．

　　由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b與2n＋1互質，a－b也與2n＋1互質．即a＋b與a－b都不能被2n＋1整除．產生矛盾，∴原題得證．

　　說明：這里用到一個重要的事實：如果A·B≡0（modp），p是質數，那么A或B中至少有一個模p為零．p是質數這一條件不能少，否則不能成立。例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余數不為0。

　　5.證明：∵質數中僅有一個偶數2，∴不小于5的質數是奇數．又不小于5的自然數按除以6所得的余數可分為6類：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然數），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶數，又3│6n＋3．

　　∴不小于5的質數只可能是6n＋1，6n＋5．

　　又自然數除以6余數是5的這類數換一記法是：6n－1，

　　∴（不小于5的質數）2－1＝（6n±1）2－1

　　＝36n2±12n＝12n（3n±1），

　　這里n與（3n±1）奇偶性不同，其中定有一個偶數，

　　∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴結論成立．

　　說明：按同余類造抽屜是解競賽題的常用方法．