小學六年級奧數訓練——工程問題思路指點
工程問題是研究工作效率、工作時間和工作總量之間相互關系的一種應用題。我們通常所說的：“工程問題”，一般是把工作總量作為單位“1”，因此工作效率就是工作時間的倒數。它們的基本關系式是：工作總量÷工作效率＝工作時間。
工程問題是小學分數應用題中的一個重點，也是一個難點。下面列舉有關練習中常見的幾種題型，分別進行思路分析，并加以簡要的評點，旨在使同學們掌握“工程問題”的解題規律和解題技巧。
例1一項工程，由甲工程隊修建，需要12天，由乙工程隊修建，需要20天，兩隊共同修建需要多少天？
［思路說明］①把這項工程的工作總量看作“1”。甲隊修建需要12天，修建1天完成這項工程的1／12；乙隊修建需要20天，修建1天完成這項工程的1／20。甲、乙兩隊共同修建1天，完成這項工程的1／12＋1／20＝2／15，工作總量“1”中包含了多少個2／15，就是兩隊共同修建完成這項工程所需要的天數。
1÷（1／12＋1／20）＝1÷2／15＝15／2（天）
②設這項工程的全部工作量為60（12和20的最小公倍數），甲隊一天的工作量為60÷12＝5，乙隊一天的工作量為60÷20＝3，甲、乙兩隊合建一天的工作量為5＋3＝8。用工作總量除以兩隊合建一天的工作量，就是兩隊合建的天數。
60÷（60÷12＋60÷20）＝60÷（5＋3）
＝60÷8＝15／2（天）
評點這是一道工程問題的基本題，也是工程問題中常見的題型。上面列舉的兩種解題方法，前者比較簡便。這種解法把工作量看作“1”，用完成工作總量所需的時間的倒數作為工作效率，用工作總量除以工作效率和，就可以求出完成這項工程所需的時間。工程問題一般采用這種方法求解。
練習：一段公路，甲隊單獨修要10天完成，乙隊單獨修要12天完成，丙隊單獨修要15天完成，甲、乙、丙三隊合修，需要幾天完成？
例2一項工程，甲隊獨做8天完成，乙隊獨做10天完成，兩隊合做，多少天完成全部工程的3／4？
［思路說明］①把這項工程的工作總量看作“1”，甲隊獨做8天完成，一天完成這項工程的1／8；乙隊獨做10天完成，一天完成這項工程的1／10。甲、乙兩隊合做一天，完成這項工程的1／8＋1／10＝9／40，工作總量“1”中包含多少個甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天數。甲乙合做所需時間的3／4，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需的時間。
1÷（1／8＋1／10）×3／4
＝1÷9／40×3／4＝10／3（天）
②把甲、乙兩隊合做的工作量3／4，除以甲、乙兩隊的效率之和1／8＋1／10＝9／40，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需要的時間。
3／4÷（1／8＋1／10）＝3／4÷9／40＝10／3（天）
評點思路①是先求出兩隊合做一項工程所需的時間，再用乘法求出完成全部工程的3／4所需的時間。思路②是把“3／4”看作工作總量，工作總量除以兩隊效率之和，就可以求出完成全部工程的3／4所需的時間。兩種思路簡捷、清晰，都是很好的解法。
練習：一項工程，單獨完成，甲隊需8天，乙隊需12天。兩隊合干了一段時間后，還剩這項工程的1／6沒完成。問甲、乙兩隊合干了幾天？
例3東西兩鎮，甲從東鎮出發，2小時行全程的1／3，乙隊從西鎮出發，2小時行了全程的1／2。兩人同時出發，相向而行，幾小時才能相遇？
［思路說明］①由甲2小時行全程的1／3。可知甲行完全程要2÷1／3＝6（小時）；由乙2小時行全程的1／2，可知乙行完全程要2÷1／2＝4（小時）。求出了甲、乙行完全程各需要的時間，時間的倒數便是各自的速度，進而可求出兩人速度之和，把東西兩鎮的路程看作“1”，除以速度之和，就可求出兩人同時出發相向而行的相遇時間。
綜合算式：
1÷（1／（2÷1／3）＋1／（2÷1／2））
＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小時）
②由甲2小時行了全程的1／3，可知甲每小時行全程的1／3÷2＝1／6；由乙2小時行全程的1／2，可知乙每小時行全程的1／2÷2＝1／4。把東西兩鎮的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到兩人同時出發相向而行的相遇時間。
綜合算式：
1÷（1／3÷2＋1／2÷2）
＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小時）
評點本題沒有直接告訴甲、乙行完全程各需的時間，所以求出甲、乙行完全程各需的時間或各自的速度，是解題的關鍵所在。
練習：打印一份稿件，小張5小時可以打完份稿件的1／3，小李3小時可以打完這份稿件的1／4，如果兩人合打多少小時完成？
例4一項工程，甲、乙合做6天可以完成。甲獨做18天可以完成，乙獨做多少天可以完成？
［思路說明］把一項工程的工作總量看作“1”，甲、乙合做6天可以完成，甲、乙合做一天，完成這項工程的1／6，甲獨做18天可以完成，甲做一天完成這項工程的1／18。把甲、乙工作效率之和，減去甲的工作效率1／18，就可得到乙的工作效率：1／6－1／18＝1／9。工作總量“1”中包含了多少個乙的工作效率，就是乙獨做這項工程的需要的時間。
1÷（1／6－1／18）＝1÷1／9＝9（天）
評點這是一道較復雜的工程問題，是工程問題的主要題型之一。主要考查同學們運用分數的基本知識及工程問題的數量關系，解決實際問題的能力。解答這類工程問題的關鍵是：先求出獨做的隊或個人的工作效率，然后用工作總量“1”除以一個隊或個人的工作效率，就可以求出一個隊或個人獨做的工作時間。
有的同學在解這道題時，由于審題馬虎，而且受基本工程問題解法的影響，錯誤地列成：1÷（1／6＋1／18），這是同學們應引起注意的地方。
練習：一批貨物，用大小兩輛卡車同時運送，5小時可以運完。如果用小卡車單獨運，15小時可以運完。問大卡車單獨運幾小時可以運完？
例5加工一批零件，單獨1人做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要12天完成。如果先由甲、乙兩人合做5天后，剩下的由丙1人做，還要幾天完成？
［思路說明］題目要求剩下的工作量由丙1人做，還要幾天完成，必須知道剩下的工作量和丙的工作效率。
加工一批零件，單獨1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件的1／10；乙要15天完成，乙一天加工一批零件的1／15；丙要12天完成，丙一天加工一批零件的1／12。甲、乙合做一天，完成這批零件的1／10＋1／15＝1／6，合做5天完成這批零件的1／6×5＝5／6，工作總量“1”減去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙1人做還要幾天完成。
綜合算式：
［1－（1／10＋1／15）×5］÷1／12
＝［1－1／6×5］÷1／12
＝1／6÷1／12＝2（天）
評點這是一道較復雜的工程問題，是工程問題中的主要題型之一，也是升學或畢業考試中最常見的試題之一。它的特點是求剩余部分的工作量完成的時間。關鍵是正確求出剩余部分的工作量。從工作總量“1”中減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同學由于審題不細，又受前面幾例工程問題的解法的影響，容易錯誤地列成：［1÷（1／10＋1／15）×5］÷1／12．
練習：加工一批零件，甲獨做要8天完成，乙獨做要7天完成，丙獨做要14天完成，三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙兩人繼續合做還要幾天完成？
例6一件工程，甲、乙合作6天可以完成。現在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙獨做又用8天正好做完。這件工程如果由甲單獨做，需要幾天完成？
［思路說明］一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作1天完成這件工程的1／6，甲、乙合作2天，完成這件工程的1／6×2＝1／3。用工作總量“1”減去甲、乙合作2天的工作量1／3，所得的差1－1／3＝2／3，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙獨做用了8天正好做完，用余下的工作量除以8，就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和減去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作總量“1”除以甲的工作效率，就可得到甲獨做這件工程所需要的天數了。
綜合算式：
1÷［1／6－（1－1／6×2）÷8］
＝1÷［1／6－（1－1／3）÷8］＝1÷［1／6－2／3÷8］
＝1÷［1／6－1／12］＝1÷1／12＝12（天）
評點這也是一道復雜的工程問題。解題的關鍵是正確求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解題的步驟較多，只有熟悉和掌握工程問題的結構特點和解題思路，熟練掌握前面5道例題的解題方法及解題的技能、技巧，才能正確順利地解答本題。
練習：一項工程，甲、乙兩隊合做9天完成，乙、丙兩隊合做12天完成，現在甲、乙兩隊合做了3天，接著乙、丙兩隊又合做了6天，最后由丙隊單獨12天完成了整個工程。如果整個工程由甲、丙兩隊合做需要幾天完成？
