你會解答下面的問題嗎？

　　問題1：今天是星期日，再過15天就是“六·一”兒童節了，問“六·一”兒童節是星期幾？

　　這個問題并不難答.因為，一個星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”兒童節是星期一。

　　問題2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期幾？

　　這個問題也難不倒我們.因為，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦應該是星期六。

　　問題1、2的實質是求用7去除某一總的天數后所得的余數.在日常生活中，時常要注意兩個整數用某一固定的自然數去除，所得的余數問題.這樣就產生了“同余”的概念.如問題1、2中的15與365除以7后，余數都是1，那么我們就說15與365對于模7同余。

　　同余定義：若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：

　　a≡b（modm）. （*）

　　上式可讀作：

　　a同余于b，模m。

　　同余式（*）意味著（我們假設a≥b）：

　　a-b=mk，k是整數，即m｜（a-b）.

　　例如：①15≡365（mod7），因為365-15=350=7×50。

　　②56≡20（mod9），因為56-20=36＝9×4。

　　③90≡0（mod10），因為90-0＝90=10×9。

　　由例③我們得到啟發，a可被m整除，可用同余式表示為：a≡0（modm）。

　　例如，表示a是一個偶數，可以寫

　　a≡0（mod 2）

　　表示b是一個奇數，可以寫

　　b≡1（mod 2）

　　補充定義：若m（a-b），就說a、b對模m不同余，用式子表示是：

　　ab（modm）

　　我們書寫同余式的方式，使我們想起等式，而事實上，同余式與等式在其性質上相似.同余式有如下一些性質（其中a、b、c、d是整數，而m是自然數）。

　　性質1：a≡a（mod m），（反身性）

　　這個性質很顯然.因為a-a=0=m·0。

　　性質2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（對稱性）。

　　性質3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（傳遞性）。

　　性質4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加減性）。

　　性質5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。

　　性質6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m），（其中n為自然數）。

　　性質7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（記號（c，m）表示c與m的最大公約數）。

　　注意同余式性質7的條件（c，m）＝1，否則像普通等式一樣，兩邊約去，就是錯的。

　　例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因為（2，4）≠1。

　　請你自己舉些例子驗證上面的性質。

　　同余是研究自然數的性質的基本概念，是可除性的符號語言。

例1 判定288和214對于模37是否同余，74與20呢？

　　解：∵288-214=74=37×2。

　　∴288≡214（mod37）。

　　∵74-20=54，而3754，

　　∴7420（mod37）。

例2 求乘積418×814×1616除以13所得的余數。

分析 若先求乘積，再求余數，計算量太大.利用同余的性質可以使“大數化小”，減少計算量。

　　解：∵418≡2（mod13），

　　814≡8（mod13），1616≡4（mod13），

　　∴ 根據同余的性質5可得：

　　418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。

　　答：乘積418×814×1616除以13余數是12。

例3 求14389除以7的余數。

分析 同余的性質能使“大數化小”，凡求大數的余數問題首先考慮用同余的性質化大為小.這道題先把底數在同余意義下變小，然后從低次冪入手，重復平方，找找有什么規律。

　　解法1：∵143≡3（mod7）

　　∴14389≡389（mod 7）

　　∵89＝64+16+8+1

　　而32≡2（mod 7），

　　34≡4（mod7），

　　38≡16≡2（mod 7），

　　316≡4（mod 7），

　　332≡16≡2（mod 7），

　　364≡4（mod 7）。

　　∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），

　　∴14389≡5（mod 7）。

　　答：14389除以7的余數是5。

　　解法2：證得14389≡389（mod 7）后，

　　36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），

　　∴384≡（36）14≡1（mod 7）。

　　∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。

　　∴14389≡5（mod 7）。

例4 四盞燈如圖所示組成舞臺彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色，…，這樣一直進行下去.請問開燈1小時四盞燈的顏色如何排列？

分析 與解答經觀察試驗我們可以發現，每經過4次互換，四盞燈的顏色排列重復一次，而1小時=60分鐘=120×30秒，所以這道題實質是求120除以4的余數，因為120≡0（mod 4），所以開燈1小時四盞燈的顏色排列剛好同一開始一樣。

十位，…上的數碼，再設M=a0＋a1＋…＋an，求證：N≡M（mod 9）。

分析 首先把整數N改寫成關于10的冪的形式，然后利用10≡1（mod 9）。

　　又∵ 1≡1（mod 9），

　　10≡1（mod 9），

　　102≡1（mod 9），

　　…

　　10n≡1（mod 9），

　　上面這些同余式兩邊分別同乘以a0、a1、a2、…、an，再相加得：

　　a0＋a1×10+a2×102+…+an×10n

　　≡a0＋a1＋a2＋…＋an（mod 9），

　　即 N≡M（mod 9）.

　　這道例題證明了十進制數的一個特有的性質：

　　任何一個整數模9同余于它的各數位上數字之和。

　　以后我們求一個整數被9除的余數，只要先計算這個整數各數位上數字之和，再求這個和被9除的余數即可。

　　例如，求1827496被9除的余數，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余數。

　　再觀察一下上面求和式.我們可以發現，和不一定要求出.因為和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余數時可不予考慮.這樣只需求4＋6被9除的余數.因此，1827496被9除余數是1。

　　有人時常利用十進制數的這個特性檢驗幾個數相加、相減、相乘的結果對不對，這種檢查方法叫：棄九法。

　　棄九法最經常地是用于乘法.我們來看一個例子。

　　用棄九法檢驗乘式5483×9117≡49888511是否正確？

　　因為 5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），

　　9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），

　　所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。

　　但是 49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1

　　≡8（mod9），

　　所以 5483×9117≠49888511，即乘積不正確。

　　要注意的是棄九法只能知道原題錯誤或有可能正確，但不能保證一定正確。

　　例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），

　　4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），

　　32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9

　　≡8（mod 9），

　　這時，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。

　　但觀察個位數字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因為末位數字5和3相乘不可能等于9。

　　棄九法也可以用來檢驗除法和乘方的結果。

例6 用棄九法檢驗下面的計算是否正確：

　　23372458÷7312＝3544。

　　解：把除式轉化為：

　　3544×7312＝23372458。

　　∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），

　　7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），

　　∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9），

　　但 23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。

　　而 17（mod 9）

　　∴ 3544×7312≠23372458，

　　即 23372458÷7312≠3544。

例7 求自然數2100＋3101＋4102的個位數字。

分析 求自然數的個位數字即是求這個自然數除以10的余數問題。

　　解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），

　　3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），

　　4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），

　　∴ 2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），

　　即自然數2100＋3101＋4102的個位數字是5.