5.2  分解質(zhì)因數(shù)

　　一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱(chēng)為質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）.例如，2，5，7，101，….一個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱(chēng)為合數(shù).例如，4，12，99，501，….1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說(shuō)法，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身.

　　質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，….

　　例9 ○＋（□+△）=209.

　　在○、□、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.

　　解：209可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即

　　209＝11×19.

　　不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17.

　　這個(gè)算式是 11×（17＋2）＝209，

　　11×（2＋17）＝ 209.

　　解例9的首要一步是把209分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問(wèn)題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容.

　　一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).

　　任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如

　　360＝2×2×2×3×3×5.

　　還可以寫(xiě)成360＝23×32×5.

　　這里23表示3個(gè)2相乘，32表示2個(gè)3相乘.在23中，3稱(chēng)為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱(chēng)為3的指數(shù)，讀作3的2次方.

　　例10 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？

　　解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)

　　5040＝24×32×5×7.

　　再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：

　　24×32×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

　　利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

　　我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1，2，3，4，6，8，12，24.對(duì)于較大的數(shù)，如果一個(gè)一個(gè)地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.

　　因?yàn)?4＝23×3，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)（1，2，22，23）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.

　　這里有4×2＝8個(gè)，即 （3＋1）×（1＋1）個(gè)，即對(duì)于24＝23×3中的23，有（3＋1）種選擇：1，2，22，23，對(duì)于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.

　　這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，

　　144＝24×32.

　　因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是（4＋1）×（2+1）＝15（個(gè)）.

　　例11 在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù).

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.

　　（1）27＝128，符合要求，

　　37＞150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.

　　（2）23＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　33＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　53＝135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128，104，135，136.

　　利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如

　　720＝24×32×5，168＝23×3×7.

　　那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類(lèi)似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是

　　23×3＝ 24.

　　在求最小公倍數(shù)時(shí)，很明顯每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請(qǐng)注意720中有5，而168中無(wú)5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是

　　24×32×5×7＝5040.

　　例12 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個(gè)數(shù)是90，另一個(gè)數(shù)是多少？

　　解：180＝22×32×5，

　　30＝2×3×5.

　　對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來(lái)說(shuō)，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從22與2就知道，一數(shù)中含22，另一數(shù)中含2；從32與3就知道，一數(shù)中含32，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是

　　90＝2×32×5.

　　就知道另一數(shù)是

　　22×3×5＝60.

　　還有一種解法：

　　另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第二個(gè)數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力.

　　例13 有一種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

　　解：把420分解質(zhì)因數(shù)

　　420＝2×2×3×5×7.

　　為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母.分子從小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超過(guò)分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是

　　兩個(gè)整數(shù)，如果它們的最大公約數(shù)是1.就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的.

　　例13實(shí)質(zhì)上是把420分解成兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù).

　　利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個(gè)例題.

　　例14 將8個(gè)數(shù)6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個(gè)數(shù)，并且每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，請(qǐng)寫(xiě)出一種分組.

　　解：要想每組4個(gè)數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)也一樣才行.把8個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù).

　　6＝2×3， 24＝23×3，

　　45＝32×5， 65＝5×13，

　　77＝7×11， 78＝2×3×13，

　　105＝3×5×7， 110＝2×5×11.

　　先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個(gè)2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13，必須把77和65放在第一組中.看質(zhì)因數(shù)7，105應(yīng)放在第二組中，45放在第一組中，得到

　　第一組：24，65，77，45.

　　第二組：6，78，110，105.

　　在講述下一例題之前，先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)名詞--完全平方數(shù).

　　一個(gè)整數(shù)，可以分解成相同的兩個(gè)整數(shù)的乘積，就稱(chēng)為完全平方數(shù).

　　例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方數(shù).

　　一個(gè)完全平方數(shù)寫(xiě)出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個(gè)質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，一定是偶數(shù).

　　例如：144＝32×42， 100＝22×52，…

　　例15 甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？

　　解：一個(gè)整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個(gè)約數(shù)可以配成一對(duì).只有配成對(duì)的兩個(gè)約數(shù)相同時(shí)，也就是這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)才會(huì)是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù).

　　2800＝24×52×7.

　　在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有

　　1，22，24，52，22×52，24×52.

　　在這6個(gè)數(shù)中只有22×52＝100，它的約數(shù)是（2＋1）×（2+1）＝9（個(gè)）.

　　2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100＝22×52，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個(gè)）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.

　　綜合起來(lái)，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112.

　　例16 小明買(mǎi)紅藍(lán)兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價(jià)都是整元，并且紅筆比藍(lán)筆貴.小強(qiáng)打算用35元來(lái)買(mǎi)這兩種筆（也允許只買(mǎi)其中一種），可是他無(wú)論怎么買(mǎi)都不能把35元恰好用完，問(wèn)紅筆、藍(lán)筆每支各多少元？

　　解：35＝5×7.紅、藍(lán)的單價(jià)不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

　　記住：對(duì)筆價(jià)來(lái)說(shuō)，已排除了5，7，10，12這四個(gè)數(shù).

　　筆價(jià)不能是35-17=18（元）的約數(shù).如果筆價(jià)是18的約數(shù)，就能把18元恰好都買(mǎi)成筆，再把17元買(mǎi)兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價(jià)不能是18的約數(shù)：1，2，3，6，9.

　　當(dāng)然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.現(xiàn)在筆價(jià)又排除了：

　　1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.

　　綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4＋13＝17，就知道紅筆每支 13元，藍(lán)筆每支 4元.