6.3 其他的面積
這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細(xì)體會.
例13 畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積.
解：直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計(jì)算.
周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍成面積是
4×4-3-5-1.5＝6.5.
例6與本題在解題思路上是完全類同的.
例14 下圖中 ABCD是 6×8的長方形，AF長是4，求陰影部分三角形AEF的面積.
解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此
三角形AEF面積＝（三角形 AEB面積）-（三角形 AFB面積）
＝8×6÷2-4×8÷2
＝ 8.
這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.
例15 下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？
解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 10×2的長方形面積相等.
可以設(shè)想，把這個平行四邊形換成 10×2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此
草地面積=（16-2）×（10-2）＝ 112.
例16 右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.
解：實(shí)際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.
陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于
梯形 ABCD面積=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.
上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力.
例17 下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求這個圖形的面積.
解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.
三角形ABC面積=（3＋3＋3）×4÷2＝18.
三角形CDE面積=（4＋4）× 3÷2＝12.
這兩個直角三角形有一個重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.
因?yàn)?nbsp;AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三個面積相等的三角形.
因?yàn)镃B＝BD＝4，所以CGB，BGD是兩個面積相等的三角形.
2×三角形DEC面積
= 2×2×（三角形 GBC面積）＋2×（三角形 GCE面積）.
三角形ABC面積
= （三角形 GBC面積）＋3×（三角形GCE面積）.
四邊形BCEG面積
=（三角形GBC面積）＋（三角形GCE面積）
=（2×12＋18）÷5
＝8.4.
所求圖形面積=12＋ 18- 8.4＝21.6.
例18 如下頁左圖，ABCG是4×7長方形，DEFG是 2×10長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.
解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和.
（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）
=（梯形ABEF面積）-（兩個長方形面積之和
=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）
=3.
例19 上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少？
解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此
（三角形 ABC面積）+（三角形CDE面積）＋（13＋49＋35）
＝（長方形面積）＋（陰影部分面積）.
三角形ABC，底是長方形的長，高是長方形的寬；三角形CDE，底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就有
陰影部分面積=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.
