1、一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。
解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n為自然數(shù))
(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89
但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。
2、求證：四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個(gè)奇數(shù)的平方。
分析：設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數(shù)。欲證
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數(shù)的平方，只需將它通過(guò)因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。
證明：設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m，則
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因?yàn)?n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方。
