問(wèn)題：小明所在的班級(jí)要選出4名中隊(duì)長(zhǎng)，要求每位同學(xué)在選票上寫(xiě)上名字，也可以寫(xiě)自己的名字。 結(jié)果全班的每位同學(xué)都在自己的選票上寫(xiě)了4個(gè)互不相同的名字。當(dāng)小明把同學(xué)們的選票收集后發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：就是任意取出2張選票，一定有且只有一個(gè)人的名字同時(shí)出現(xiàn)在2張選票上。 請(qǐng)問(wèn)：小明所在的班級(jí)共有多少人？

　　總體邏輯思路：首先，假設(shè)題目所說(shuō)的情況存在。然后，得出班級(jí)人數(shù)。最后，構(gòu)造出一個(gè)例子，說(shuō)明確實(shí)存在這種情況。

　　我們先來(lái)證明這個(gè)班每個(gè)人都恰好都被選了4次。

　　思路簡(jiǎn)介：我們首先用反證法證明沒(méi)有人被選了4次以上。由于平均每人被選了4次，既然沒(méi)有人被選了4次以上，肯定也不存在被選了4次以下的人。所以，可以得到每個(gè)人恰好被選了4次。

　　首先證明沒(méi)有人被選了4次以上，我們用反證法。

　　假設(shè)有一個(gè)人被選了4次以上（由于很容易證明這個(gè)班的人數(shù)肯定不少于7人，所以我們可以假設(shè)有一個(gè)人被選了4次以上），我們?cè)O(shè)這個(gè)人為A同學(xué)。接下來(lái)我們來(lái)證明這種情況不存在。

　　把所有選擇A同學(xué)的選票集中到一起，有5張或5張以上。方便起見(jiàn)，我們把這些選票編號(hào)，記為A1選票，A2選票，A3選票，A4選票，A5選票，…。意思就是選擇A同學(xué)的第1張選票，選擇A同學(xué)的第2張選票，…。

　　這些選票都選擇了A同學(xué)。由于任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，所以這些選票上除了A同學(xué)外，其他都是不同的人。

　　我們還可以證明，這些并不是全部的選票，不是太難，就不證明了。

　　既然這些（所有選A同學(xué)的選票）不是全部的選票，我們?cè)倌靡粡垱](méi)有選擇A同學(xué)的選票。方便起見(jiàn)，稱之為B選票。

　　根據(jù)任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，A1選票上必有一個(gè)人和B選票上的一個(gè)人是相同的，而且這個(gè)人不是A同學(xué)。

　　同樣道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一個(gè)人和B選票上的一個(gè)人是相同的，而且這個(gè)人不是A同學(xué)。

　　由于B選票上只有4個(gè)不同的人，而A1、A2、…，的數(shù)量大于4.所以，A1、A2、A3、…選票中至少有2張選票，除了A同學(xué)外還有一個(gè)共同的候選人。根據(jù)任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，我們知道這是不可以的。

　　所以，沒(méi)有人被選了4次以上。

　　由于平均每人被選4次，既然沒(méi)有人被選4次以上，當(dāng)然也就不可能有人被選4次以下。

　　所以，每個(gè)人恰好被選了4次！

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　　證明了每個(gè)人都恰好被選了4次后，下面我們用兩種方法來(lái)求出班級(jí)的人數(shù)。

　　方法一：解方程設(shè)這一班有n個(gè)人，從n張選票里面任選2張有C（n，2）=n（n-1）/2種情況。

　　由于任意2張選票都有且只有1個(gè)人相同，所以每一種情況都代表了一種2張選票重復(fù)選擇了同一個(gè)人的情況。（這句話不太好理解，暫時(shí)沒(méi)有想到好的表述）

　　每一個(gè)人都被選了4次，則2張選票重復(fù)選擇了同一個(gè)人的情況又等于nC（4，2）=6n

　　所以n（n-1）/2=6n解得n=13.

　　方法二：分析論證，計(jì)算我們從所有選票中拿出一張，這張選票上有四個(gè)人，方便起見(jiàn)記為甲、乙、丙、丁四個(gè)人。

　　除了我們拿出的這張選票外，所有選甲的選票組成集合[甲].所有選乙的選票組成集合[乙].所有選丙的選票組成集合[丙].所有選丁的選票組成集合[丁].

　　由于每個(gè)人都恰好被選了4次，所以[甲]、[乙]、[丙]、[丁]四個(gè)集合中都有3個(gè)元素。而且這四個(gè)集合沒(méi)有交集。

　　每個(gè)集合有3張選票，再加上我們拿出的這張選票，一共有4×3+1=13張選票，即13個(gè)人。

　　下面我們證明選票數(shù)不能多于13張。還是用反證法。

　　假設(shè)選票數(shù)多于13張，我們從中取14張。從這14張選票中我們拿出一張稱為C選票。除了C選票外還有13張選票，C選票上有4個(gè)不同的人，這13張選票中的每一張都有一個(gè)人和C選票上的一個(gè)人是相同的。這樣13張選票中至少有4張選擇了C選票上的同一個(gè)人，這樣再加上C選票，就有5個(gè)人選擇了同一個(gè)人。

　　根據(jù)前面的結(jié)論，沒(méi)有人被選了4次以上，所以選票數(shù)不能多于13張。而且只能是13張。

　　所以只有13張選票，即只有13個(gè)人。

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　　下面說(shuō)明這種情況確實(shí)存在。

　　給出一種投票結(jié)果即可。

　　（1，2，3，4）

　　（1，5，6，7）

　　（1，8，9，10）

　　（1，11，12，13）

　　（2，5，8，11）

　　（2，6，9，12）

　　（2，7，10，13）

　　（3，5，9，13）

　　（3，6，10，11）

　　（3，7，8，12）

　　（4，5，10，12）

　　（4，6，8，13）

　　（4，7，9，11）

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　　方法三：網(wǎng)上搜到得一種方法，設(shè)班級(jí)有x個(gè)人，那么x張票中總共有4x（有重復(fù)）個(gè)名字，也就是說(shuō)班級(jí)里每個(gè)人的名字平均出現(xiàn)4次，（1） 如果有一個(gè)人的名字在所有票中都出現(xiàn)，那么x張票應(yīng)該有不重復(fù)的名字3x+1個(gè)，這與班級(jí)有x個(gè)人矛盾，（2）如果一個(gè)人的名字在5張票中都出現(xiàn)過(guò)，那么假設(shè)為（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）（1，14，15，16）那么你無(wú)法構(gòu)造一個(gè)不包含1，但與前面5張票都有一個(gè)同名的票，所以一個(gè)人的名字在所有票中最多出現(xiàn)4次，并且每個(gè)人的名字在所有票中平均出現(xiàn)4次，那也就是說(shuō)每個(gè)人的名字在所有票中出現(xiàn)4次假設(shè)包含1的票為（1，2，3，4）（1，5，6，7）（1，8，9，10）（1，11，12，13）其中2出現(xiàn)了1次，之后構(gòu)造其他包含名字2的3張票為（2，5，8，11）（2，6，9，12）（2，7，10，13）

　　之后構(gòu)造分別包含名字3，4的各3張票。發(fā)現(xiàn)符合題意，所以這個(gè)班有13人。