什么是數(shù)？

　　開(kāi)天辟地之初，人類就開(kāi)始與數(shù)打交道。數(shù)即是數(shù)目的意思。正如《漢書·律歷志上》云：“數(shù)者，一十百千萬(wàn)也。”

　　數(shù)進(jìn)入數(shù)學(xué)體系就成為它的最基本概念之一，數(shù)的概念是隨著人類的生產(chǎn)和生活實(shí)踐的不斷發(fā)展而逐漸形成的，并且永無(wú)止境地發(fā)展著。從古至今，以自然數(shù)為開(kāi)端，接著是有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)，直至復(fù)數(shù)，共同構(gòu)成數(shù)的概念不斷拓展的系列。每一次拓展都是一次創(chuàng)造思維的躍升。

　　什么是數(shù)學(xué)？

　　數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。古時(shí)候，人類在生產(chǎn)和生活實(shí)踐中便獲得了數(shù)的概念和一些簡(jiǎn)單幾何形體的概念。自此開(kāi)始，到16世紀(jì)，創(chuàng)立了包括算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角的初等數(shù)學(xué)。17世紀(jì)引入變量概念是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這使得運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入數(shù)學(xué)，開(kāi)始研究變化中的量與量之間相互制約關(guān)系和圖形間的相互變換。近年來(lái)，由于數(shù)學(xué)在自然科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，又由于計(jì)算技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)對(duì)人類認(rèn)識(shí)自然和改造自然的重要作用也顯示得更加清楚了。至今，現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)形成了包括數(shù)理邏輯、數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論、泛函分析、微分方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)及邊緣學(xué)科運(yùn)籌學(xué)、控制論等在內(nèi)的龐大體系。

　　與數(shù)的發(fā)展一樣，數(shù)學(xué)發(fā)展史也是創(chuàng)造思維不斷發(fā)展的歷史。

　　數(shù)學(xué)是中小學(xué)生的主科。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是中小學(xué)生增長(zhǎng)學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造能力的廣闊天地。

　　一.驢唇怎能對(duì)得上馬嘴呢

　　陰錯(cuò)陽(yáng)差的巧事，張冠李戴的誤會(huì)，在大千世界，這等笑話，時(shí)有發(fā)生。可是，在數(shù)學(xué)課上，難道也會(huì)發(fā)生驢唇不對(duì)馬嘴的事情嗎？

　　（一）平地起風(fēng)雪

　　話題是從一道淺顯的代數(shù)題引發(fā)的。這是一個(gè)發(fā)生在某中學(xué)初一新生的一節(jié)數(shù)學(xué)課上的小故事。快下課時(shí)，老師出了一道題：“若a為自然數(shù)，說(shuō)出a以后的7個(gè)連續(xù)自然數(shù)。”一個(gè)小女孩舉手搶答：“a，b，c，d，e，f，g。”話音剛落，便引起哄堂大笑，老師也愕然了。女孩覺(jué)察到，自己的答案，驢唇不對(duì)馬嘴。出了笑話，落個(gè)滿臉通紅。

　　接著，一個(gè)男孩起來(lái)補(bǔ)正：“a＋1，a＋2，a+3，a+4，a＋5，a+6，a+7。”爾后，下課鈴響了。

　　事情平平常常。一個(gè)女孩答錯(cuò)了題，一個(gè)男孩糾正過(guò)來(lái)，全班同學(xué)都明白了正確答案。下課，大家就都散了。

　　那么，這件事是否到此就算了結(jié)了呢？

　　請(qǐng)思考10分鐘，然后，發(fā)表你的見(jiàn)解。

　　單兵——我看是了結(jié)了。老師完成了教學(xué)任務(wù)，學(xué)生也完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。

　　焦小敏——如果說(shuō)沒(méi)有了結(jié)，那就是老師還得教育同學(xué)們，不要把這事當(dāng)成奚落那位小姑娘的笑柄。

　　張娟——還有，班上的同學(xué)也有義務(wù)鼓勵(lì)那位小姑娘。

　　趙燕——直截了當(dāng)?shù)卣f(shuō)，我認(rèn)為沒(méi)有了結(jié)。因?yàn)槿魏谓Y(jié)果都有原因。小姑娘答成“a，b，c，d，e，f，g”這是她思維的結(jié)果。那么，她一定有個(gè)由此及彼的思維過(guò)程，其中深藏著錯(cuò)誤的原因。老師與那個(gè)小姑娘的任務(wù)是找出原因，避免再錯(cuò)。如若不然，再遇類似問(wèn)題，也許她又答成“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚” 呢。

　　肖冬春——我同意這種看法。換句話說(shuō)，知道男孩答案正確，并不等于找到自己的錯(cuò)誤原因。

　　韓小彧——前面幾位同學(xué)的發(fā)言，從不同的角度，各有各的道理。但是，又都有一個(gè)絕對(duì)化的框框束縛著。這就是姑娘的答案一無(wú)是處；小男孩的答案絕對(duì)正確，天衣無(wú)縫。這個(gè)框框正是上面5個(gè)發(fā)言的潛在的共同前提。當(dāng)然，錯(cuò)誤答案之正確部分及正確答案之不足部分，如果真有，我現(xiàn)在還未想出。

　　赫峰——她提出的問(wèn)題，是一條嶄新的思路，很有啟發(fā)。我發(fā)現(xiàn)小姑娘的答案中有一個(gè)合理的因素，7個(gè)字母與題目要求的7個(gè)自然數(shù)合得上。

　　曹博——這么說(shuō)來(lái)，錯(cuò)誤答案中的合理因素，可不止這一個(gè)。題目要求“a以后”，按照英語(yǔ)字母表由b到g都在a以后。

　　姚樹(shù)——題目要求“連續(xù)”，按英語(yǔ)字母表，從a到g是連續(xù)的，并沒(méi)斷開(kāi)，也沒(méi)跳躍。

　　祝越——7個(gè)符號(hào)都可以表示自然數(shù)。這一點(diǎn)。也是符合題目要求的。

　　李河——這么說(shuō)來(lái)，“a以后”、“7個(gè)”、 “連續(xù)”、“自然數(shù)”4大要素都合乎題目要求，錯(cuò)在哪里呢？

　　討論至此，真是平地起風(fēng)云。看來(lái)已經(jīng)結(jié)束的問(wèn)題，卻又引出一片新話題。況且本來(lái)被公認(rèn)為絕對(duì)錯(cuò)誤的答案，現(xiàn)在卻找不到一點(diǎn)破綻了。

　　（二）罕見(jiàn)的對(duì)話

　　正像大家的看法一樣，當(dāng)堂聽(tīng)課的主任覺(jué)察到：這件事并未結(jié)束。

　　下課后主任與老師討論，老師認(rèn)為“a+1”到“a+7”是唯一正確的答案，全班已懂，教學(xué)任務(wù)已告完成。主任又去問(wèn)學(xué)生。大家說(shuō)那個(gè)小女孩在小學(xué)時(shí)，特別喜歡英語(yǔ)。主任領(lǐng)悟了：小學(xué)時(shí)只是在英語(yǔ)學(xué)習(xí)中才見(jiàn)到過(guò)a，題目似乎要求寫出“a以后的7個(gè)”來(lái)，自然，a，b，c，d，e，f，g”在頭腦中出現(xiàn)了，又在口中說(shuō)出了。這正是心理學(xué)上所說(shuō)的副定勢(shì)起了作用。

　　爾后，主任將女孩找到辦公室。先肯定她喜歡英語(yǔ)，大膽舉手的優(yōu)點(diǎn)，接著是雙方一連串的對(duì)話。

　　“那題明白了嗎？”

　　“明白了。”

　　“你的答案呢？”

　　“全錯(cuò)了。”

　　“一點(diǎn)對(duì)的地方也沒(méi)有？”

　　“沒(méi)有。”

　　“一丁點(diǎn)兒都沒(méi)有？”

　　“沒(méi)有。”

　　“真的嗎？”

　　“我沒(méi)想過(guò)。”（唉！沒(méi)有想過(guò)就堅(jiān)定地認(rèn)為自已全錯(cuò)了！）

　　“現(xiàn)在想想看。”

　　“想不出。”

　　“b，c，d，e，f，g，不是在a以后嗎？”

　　“是”。

　　“字母不是說(shuō)了7個(gè)嗎？”

　　“是”。

　　“7個(gè)字母，排列有序，為什么不跳著說(shuō)呢。”

　　“題目上說(shuō)……”

　　“你看，‘a以后’、‘7個(gè)’、‘連續(xù)’，都有了。這些字母又都能表示自然數(shù)。那么，哪有錯(cuò)的地方呢？”

　　“咦，怎么沒(méi)有錯(cuò)的地方了呢？”

　　最后，在主任啟發(fā)下，發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤：對(duì)于這些字母，沒(méi)有給出符合題意的數(shù)學(xué)含義。一句話，把英語(yǔ)字母轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)的任務(wù)，沒(méi)有完成。

　　找出錯(cuò)誤原因，就能糾正錯(cuò)誤。簡(jiǎn)單說(shuō)，將7個(gè)英語(yǔ)字母賦予符合題意的數(shù)學(xué)含意就是了。這樣，找到了與眾不同的答案：若a為自然數(shù)，令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a＋3，d＝a＋4，e＝a＋5，f＝a＋6，g＝a＋7，則a＇，b，c，d，e，f，g”便是正確答案。

　　就是這樣，正確與錯(cuò)誤之間，只有一小撇之差。

　　還應(yīng)指出，運(yùn)用這種靈活變通的思維方式，求解此題，正確答案是無(wú)窮盡的。即使是“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”，只要將其賦予符合題意的數(shù)學(xué)含義，也能成為正確答案。這么看來(lái)，把“a＋1，a＋2，a＋3，a＋4，a＋5，a＋6，a＋7”看成唯一正確答案，失之于思維呆板，并且導(dǎo)致片面性和絕對(duì)化。

　　（三）深刻的啟示

　　中小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，錯(cuò)誤常見(jiàn)，改錯(cuò)也常見(jiàn)。但是，這樣的改錯(cuò)方式從未見(jiàn)過(guò)。

　　這樣的改錯(cuò)方式給我們的啟示是深刻的，是多方面的。

　　1.在變通性的動(dòng)態(tài)思考中更深刻地掌握數(shù)學(xué)新原理

　　掌握數(shù)學(xué)概念和原理，運(yùn)用相關(guān)概念、原理解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高思維能力，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。

　　用符號(hào)表示數(shù)是代數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)。在小學(xué)算術(shù)中只用阿拉伯?dāng)?shù)字表示固定的具體數(shù)目。而在中學(xué)代數(shù)中，就要用抽象符號(hào)表示多種多樣的數(shù)學(xué)含義。用符號(hào)表示數(shù)的課題，是代數(shù)起始課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。上面的題，正是為了使學(xué)生掌握這個(gè)代數(shù)原理而設(shè)計(jì)的。

　　兩種改錯(cuò)方式對(duì)理解原理的作用是不同的。先看一般方式：

　　a，b，c，d，e，f，g→a＋1，a＋2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7

　　再看變通方式：

　　a，b，c，d，e，f，g→令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a+3，d＝c+4，e＝a+5，f＝a+6，g＝a+7→a＇，b，c，d，e，f，g

　　后者增加“令a＇＝a＋1，……，g＝a＋7”的一步，同時(shí)也就增加了“a＇～g”的新的答案形式，最后回到“a＋1，……，a＋7”的答案。中間增加兩步推導(dǎo)，都運(yùn)用了“符號(hào)表示數(shù)”的原理。這樣，也就加深了對(duì)這一原理的理解。

　　總之，對(duì)比兩種處理方式，后者更有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和學(xué)習(xí)能力的提高。

　　2.創(chuàng)造思維能力在運(yùn)用中得到增長(zhǎng)

　　運(yùn)用變通性方式改錯(cuò)，不僅有利于學(xué)習(xí)能力的提高，也有利于創(chuàng)造思維能力的增長(zhǎng)。

　　變通性改錯(cuò)方式，加大了思維難度，是進(jìn)行發(fā)散思維而獲得的結(jié)果。當(dāng)然，這也不是唯一的結(jié)果。更為重要的是：原來(lái)被認(rèn)為解法唯一，現(xiàn)在變成無(wú)窮了。這就啟發(fā)我們提出問(wèn)題：

　　（1）數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理統(tǒng)統(tǒng)都是永恒不變的嗎？其表述方式是唯一的嗎？

　　（2）被認(rèn)為只有一種解答方法的數(shù)學(xué)題是統(tǒng)統(tǒng)都不會(huì)有第2、第3種解決方法嗎？

　　當(dāng)我們對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題得出“不見(jiàn)得”的結(jié)論時(shí)，那么對(duì)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響，也就在其中了。即不以固定方式掌握數(shù)學(xué)概念、原理和題目解法為滿足，而還要運(yùn)用創(chuàng)造思維的發(fā)散性、靈活性，對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)課題予以審視，積極發(fā)掘可能蘊(yùn)含著的新內(nèi)容、新方法、新的推理和新的表達(dá)方式。

　　這樣堅(jiān)持下去，就會(huì)收到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)造思維能力同步超常增長(zhǎng)的效果。