三、余數
在整數除法運算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產生了余數.通常的表示是：
65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.
上面兩個算式中2和3就是余數，寫成文字是
被除數÷除數=商……余數.
上面兩個算式可以寫成
65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
也就是
被除數=除數×商+余數.
通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們容易從“余數”出發去考慮問題，這正是某些整數問題所需要的.
特別要提請注意：在帶余除式中，余數總是比除數小，這一事實，解題時常作為依據.
例17 5397被一個質數除，所得余數是15.求這個質數.
解：這個質數能整除
5397-15＝5382，
而 5382＝2×31997×13×23.
因為除數要比余數15大，除數又是質數，所以它只能是23.
當被除數較大時，求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到余數.
例18 求645763除以7的余數.
解：可以先去掉7的倍數630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數是6.這個過程可簡單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果你演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：
645763→15000→1000→6.
帶余除法可以得出下面很有用的結論：
如果兩個數被同一個除數除余數相同，那么這兩個數之差就能被那個除數整除.
例19 有一個大于1的整數，它除967，1000，2001得到相同的余數，那么這個整數是多少？
解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即
1000-967＝33＝3×11，
2001-1000＝1001＝7×11×13，
2001-967＝1034＝2×11×47.
這個整數是這三個差的公約數11.
請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因為另一個差總可以由這兩個差得到.
例如，求出差1000-967與2001-1000，
那么差
2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
＝1001＋33
＝1034.
從帶余除式，還可以得出下面結論：
甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個余數，那么甲、乙兩數之和被這個除數除，它的余數就是兩個余數之和被這個除數除所得的余數.
例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數是5＋9＝14被13除的余數1.
