例9 求下式中S的整數部分：

　　解：根據“一個分數，當分子不變而分母變大時，分數值變小；當分子不變，分母變小時，分數值變大”對S的分母進行放縮。

　　不但非常麻煩，而且容易出錯。為了求得一個數大概是多少，我們采用放縮法，以確定它的范圍，也就是估值。放縮是解答估值問題的一種常用方法。在用這種方法時，一定要注意放縮要適當，要合情合理。

　　一個類似的問題是

　　答案是19。

　　例10 學校組織若干人參加夏令營。先乘車，每個人都要有座位，這樣需要每輛有60個座位的汽車至少4輛。而后乘船，需要定員為70人的船至少3條。到達營地后分組活動，分的組數跟每組的人數恰好相等。這個學校參加夏令營的人有多少？

　　解：由“每輛有60個座位的汽車至少4輛”可知，參加夏令營的人數在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240人之間。

　　由“需要定員為70人的船至少3條”可知，參加夏令營人數在（70×2＋1=）141～（70×3=）210人之間。

　　這樣，參加夏令營的人數在181～210人之間。又由“分的組數和每組人數恰好相等”可知，參加夏令營的人數一定是一個平方數。而181～210之間只有196是平方數，所以參加夏令營的人數是196。

　　說明：解答此題的關鍵是估計人數的范圍：

　　從乘車來看，1≤第四輛車人數≤60，

　　從乘船來看，1≤第三條船人數≤70，

　　所以，181≤夏令營的人數≤210。

　　例11 將自然數按如下順序排列：

　　1 2 6 7 15 16 …

　　3 5 8 14 17 …

　　4 9 13 …

　　10 12 …

　　11 …

　　在這樣的排列下，數字3排在第2行第1列，數字13排在第3行第3列。

　　問：數字168排在第幾行第幾列？

　　分析：我們來分析一下給出數陣中每一斜行的規律。這里第2斜行的數字是3，2；第3斜行的數字是4，5，6；余此類推。仔細觀察后我們發現：

　　奇數斜行中的數字由下向上遞增，

　　偶數斜行中的數字由上向下遞增，

　　我們只要找出168位于第幾斜行，再換算成原數陣中的第幾行第幾列，問題便解決了。

　　18斜行最大的數字是171，所以168位于第18斜行。第18斜行中的數字是由上向下遞增，因此，168位于第18斜行由上向下數第（168-153=）15位，換算成原數陣的行和列，便是第15行，第（18-15＋1=）4列。

　　解法2：為方便起見，可將數陣按順時針方向旋轉45°，則原數陣變為

　　1

　　3 2

　　4 5 6

　　10 9 8 7

　　11 12 13 14 15

　　… … … … … … … … … …

　　設168位于上述數陣的第n行，則

　　1＋2＋…＋（n―1）＜168≤1＋2＋…＋n，

　　可見，n應為18，即168位于上述數陣中的第18行。

　　又 168-153=15，18-15＋1=4，由數陣排列次序可知168位于上述數陣的第18行從左數第4個數，從右數第15個數。將上述數陣還原為題中數陣，168在第15行第4列的位置上。

　　例12 唐老鴨與米老鼠進行萬米賽跑，米老鼠每分鐘跑125米，唐老鴨每分鐘跑100米。唐老鴨手中掌握著一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器，通過這種遙控器發出第n次指令，米老鼠就以原來速度的n×10％倒退一分鐘，然后再按原來的速度繼續前進。如果唐老鴨想在比賽中獲勝，那么它通過遙控器發出指令的次數至少是多少次？

　　解：唐老鴨跑完1萬米需要100分鐘。設唐老鴨在100分鐘內共發出n次迫使米老鼠倒退的指令，則在100分鐘內米老鼠有n分鐘的時間在倒退，有（100-n）分鐘的時間在前進，依題意有

　125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得 n（n＋21）＞400。

　　當　n=12時， n＋21=33，12×33=396＜400。

　　當　n=13時，n＋21=34，12×34=442＞400。

　　所以n至少等于13，即遙控器發出指令的次數至少是13次。